Question

Seja f uma funcao derivavel em R e seja g(x) = f(x)/x , x=0. Suponha que p e um ponto de maximo local de g.
(a) Prove que pf′(p) − f(p) = 0.
(b) Prove que a reta tangente ao grafico de f no ponto x = p passa pela origem.

Answer 1

a) g(x) = f(x)/x

Regra do quociente ---> g'(x) = [x.f '(x) - f(x).x']/x²

Para x = p ---> g'(p) = 0 ---> 0 = [p.f '(p) - f(p).1]/p² ---> p.f '(p) - f(p) = 0

b) p.f '(p) - f(p) = 0 ---> f '(p) = f(p)/p ---> Gráfico de f(p) passa pela origem

Exemplo: f(x) = - x³ ---> desenhe a função

g(x) = - x³/x ---> g(x) = - x² ---> g'(x) = - 2.x ---> máximo de g(x): x = 0

Para x = 0 o gráfico de f(x) passa pela origem (0, 0), logo, a reta tangente ao gráfico de f(x) é o próprio eixo x, que passa pela origem