Question

a circunferência da figura têm um raio √2 e centro 0.

se sen 10° + cos 10° = a, qual é a área do triângulo AOB ?

Answer 1

A área desse triângulo é:

$A = {\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times sen(55^\circ) \over 2 } \\\\ A = { 2sen(55^\circ) \over 2} \\\\ A = sen(55^\circ)$

Porém, devido a informação dada abaixo, devemos encontrar a área em função de a.

Sabe-se que 55° = 45° + 10°, então, utilizaremos a fórmula de soma de arcos do seno:

sen(x+y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x)

→ sen(45° + 10°)

= sen(45°)cos(10°) + sen(10°)cos(45°)

$= {\sqrt{2} \over 2}cos(10^\circ) + {\sqrt{2} \over 2}sen(10^\circ) \\\\ = {\sqrt{2} \over 2}(cos(10^\circ ) + sen(10^\circ)) \\\\ = {a\sqrt{2} \over 2}$

Portanto, a área é ${ a\sqrt{2} \over 2} \: u.a$