Question

Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo, constatou que:

I. o cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00.
II. a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50.
III. se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 passa a ser 9/40.
IV. se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 passa a ser 1/4.

Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era

a) 27 b)32 c)33 d)81 e)108

Answer 1

Temos três incógnitas nesse problema: o número de moedas de R$0,25 (x), número de moedas de R$0,50 (y) e o número de moedas de R$1,00 (z). Com as informações fornecidas, vamos relacionar essas três variáveis.

Primeiramente, temos que a probabilidade de retirar a moeda de 25 centavos é três vezes maior que retirar de 50 centavos. Logo, existem três vezes mais moedas de 25 centavos, ou seja:

$x=3y$

Ao retirar 21 moedas de 25 centavos, a probabilidade de retirar uma moeda de 50 centavos é 9/40. Assim, se multiplicarmos a soma total de moedas por essa probabilidade, devemos obter o número de moedas de R$0,50. Assim:

$[(x-21)+y+z]\times \frac{9}{40} =y$

Substituindo o valor de x, obtemos:

$[(3y-21)+y+z]\times  \frac{9}{40} = y\\ \\ 0,9y+0,225z-4,725=y\\ \\ 0,225z-0,1y=4,725$

Ao retirar 9 moedas de 50 centavos, a probabilidade de retirar uma moeda de 1 real é 1/4. De maneira similar a equação anterior, temos:

$[x+(y-9)+z]\times \frac{1}{4} =z$

Novamente, substituímos o valor de x:

$[3y+(y-9)+z]\times \frac{9}{40}=z \\ \\ y-2,25+0,25z=z\\ \\ y-0,75z=2,25$

Com as duas equações obtidas, formamos um sistema linear, que possui a seguinte resolução:

$y=27\\ \\ z=33$

Por fim, voltamos a primeira relação, para determinar a quantidade de moedas de 25 centavos:

$x=3\times 27 = 81$

Portanto, existem 81 moedas de R$0,25 no cofre de Enrico.