Question

Determine o número de pares (x,y) de inteiros positivos tais que x2−y2=2^20.

Answer 1

Perceba que x² - y² é uma diferença de quadrados.

Então, podemos reescrever a equação x² - y² = 2²⁰ da seguinte maneira:

(x + y)(x - y) = 2²⁰.

O número 2²⁰ possui 21 divisores positivos. São eles:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288 e 1048576.

Perceba que queremos dois números inteiros positivos cuja multiplicação resulta em 2²⁰.

Sendo assim, temos as seguintes possibilidades:

1.1048576

2.524288

4.262144

8.131072

16.65536

32.32768

64.16384

128.8192

256.4096

512.2048

1024.1024

Perceba que a única multiplicação que não será satisfeita será a 1.1048576, pois:

x + y = 1

x - y = 1048576

Somando as duas equações:

2x = 1048577

x = 524288,5 → x não é um número inteiro.

Portanto, existem 10 pares de inteiros positivos que satisfazem a equação x² - y² = 2²⁰.