Question

Sejam x e y números irracionais tais que ( 2101 − x ) 3 + ( x + y − 2100 ) 3 = ( y + 1 ) 3 . Determine o maior inteiro positivo n tal que n 2 é menor ou igual a x + y .

Answer 1

Sendo (2101 - x)³ + (x + y - 2100)³ = (y + 1)³, podemos considerar que:

a = 2101 - x e b = x + y - 2100.

Da primeira equação, temos que x = 2101 - a.

Substituindo o valor de x na segunda equação:

b = 2101 - a + y - 2100

b = 1 - a + y

y = a + b - 1.

Então, reescrevendo a equação inicial:

a³ + (2101 - a + a + b - 1 - 2100)³ = (a + b - 1 + 1)³

a³ + b³ = (a + b)³

a³ + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

3a²b + 3ab² = 0

Colocando 3ab em evidência:

3ab(a + b) = 0

a = -b.

Assim,

y = b - b - 1

y = -1.

Logo,

(2101 - x)³ + (x - 2101)³ = 0.

Podemos concluir que x = 2101.

Assim, temos que:

n² ≤ x + y

n² ≤ 2100

n ≤ 45,82575695...

Portanto, o maior inteiro positivo é n = 45.