Question

Determine o número de pares ( x , y ) de inteiros positivos tais que x^2 − y^2 = 2^26

Answer 1

Perceba que x² - y² é uma diferença de quadrados.

Sendo assim, podemos reescrever a equação da seguinte forma:

(x + y)(x - y) = 2²⁶.

Temos então uma multiplicação de dois números cujo resultado é 2²⁶.

O número 2²⁶ possui 27 divisores positivos. São eles:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048579, 2097152, 4194304, 8388608, 96777216, 33554432, 67108864.

Logo, temos as seguintes possibilidades de multiplicação:

1.67108864

2.33554432

4.16777216

8.8388608

16.4194304

32.2097152

64.1048576

128.524288

256.262144

512.131072

1024.65536

2048.32768

4096.16384

8192.8192

Perceba que a única multiplicação que não será satisfeita é a primeira, pois:

x + y = 1

x - y = 67108864

Somando as duas equações:

2x = 67108865

x = 33554432,5 → x não é um número inteiro.

Portanto, existem 13 pares de inteiros positivos tais que x² - y² = 2²⁶