Question

Sejam x e y números irracionais tais que ( 2301 − x ) 3 + ( x + y − 2300 ) 3 = ( y + 1 ) 3 . Determine o maior inteiro positivo n tal que n 2 é menor ou igual a x + y .

Answer 1

Temos que (2301 - x)³ + (x + y - 2300)³ = (y + 1)³.

Vamos considerar que:

a = 2301 - x e b = x + y - 2300.

Da primeira equação, obtemos x = 2301 - a.

Substituindo o valor de x na segunda equação, obtemos:

b = 2301 - a + y - 2300

b = 1 - a + y

y = a + b - 1.

Assim,

a³ + (2301 - a + a + b - 1 - 2300)³ = (a + b - 1 + 1)³

a³ + b³ = (a + b)³

a³ + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

3a²b + 3ab² = 0

Colocando 3ab em evidência:

3ab(a + b) = 0

a = -b.

Assim, podemos concluir que y = -b + b - 1 ∴ y = -1.

E (2301 - x)³ + (x - 2301)³ = 0, ou seja, x = 2301.

Queremos calcular o maior inteiro positivo n tal que n² ≤ x + y.

Sendo assim,

n² ≤ 2301 - 1

n² ≤ 2300

n ≤ 47,95831523...

Portanto, o maior inteiro positivo é n = 47.