ajuda
Sejam x e y números irracionais tais que ( 1951 − x ) 3 + ( x + y − 1950 ) 3 = ( y + 1 ) 3 . Determine o maior inteiro positivo n tal que n 2 é menor ou igual a x + y .
Respostas
Vamos à resolução do exercício proposto.
Lembremos da soma de cubos de dois números reais ou complexos, que por sua vez é dada por:
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) =>
a³+b³ = (a+b)[(a+b)²-2ab-ab] =>
a³+b³ = (a+b)[(a+b)²-3ab]; para todo “a” e “b” complexos.
Com isso vamos à resolução do problema.
(1951-x)³+(x+y-1950)³ = (y+1)³ =>
[(1951-x)+(x+y-1950)][(1951-x+x+y-1950)²-3(1951-x)(x+y-1950)] = (y+1)³ <=>
(y+1)[(y+1)²-3(1951-x)(x+y-1950)] = (y+1)(y+1)² <=>
(y+1)²-3(1951-x)(x+y-1950) = (y+1)² <=>
-3(1951-x)(x+y-1950) = 0 <=>
x = 1951 (Absurdo! O enunciado informa a irracionalidade de “x”)
ou
x+y = 1950 (É o valor da soma, que por sua vez é válida)
Com isso, o maior valor inteiro e positivo “n”, cujo quadrado (“n²) é menor ou igual a 1950 é 44.
O maior inteiro positivo “n” é igual a 44 (pois 44² = 1936; que por sua vez satisfaz as condições impostas).
Abraços!