Question

Como se faz a Multiplicação e Divisão De Radicais Com Índices iguais e diferentes ?

Answer 1

Ao realizar as operações de multiplicação e divisão de radicais, devemos atentar em um detalhe importante: os índices das raízes são iguais ou diferentes? Para cada um dos casos, agimos de forma diferenciada, como poderemos ver a seguir:Quando os índices são iguaisVocê se lembra das 3ª e 4ª propriedades da radiciação? De acordo com elas, para realizar o quociente ou a multiplicação de radicais que possuem o mesmo índice, basta fazer a operação desejada entre os radicandos. Vejamos a seguir como realizamos essas operações entre radicais com o mesmo índice:  Quando os índices são diferentesPara realizar uma multiplicação ou uma divisão entre raízes que apresentam índices distintos, precisamos modificá-las para que todas tenham o mesmo índice. Para tanto, podemos aplicar a 2ª propriedade da radiciação, que afirma que “a raiz não sofre alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor.”Uma das alternativas mais práticas é encontrar o mínimo múltiplo comum entre os índices, reescrevendo os radicais com o novo valor:

Answer 2

Com raízes iguais:

$\sqrt{7} . \sqrt{8}= \sqrt{7*8}= \sqrt{56}$

Divisão :
$\sqrt[3]{25}: \sqrt[3]{5}= \sqrt[3]{25:5} = \sqrt[3]{5}$

Quando os índices são diferentes temos que transformar nos mesmos índices, da mesma forma que você faz com as frações quando os denominadores são diferentes. Achamos o mmc entre os índices. Veja;
     
              $\sqrt{3}. \sqrt[3]{3} =$  ---mmc(2,3) = 6
$\sqrt[3.2]{3}. \sqrt[2.3]{3}=$  --> o número pelo qual você multiplicou os 
                                                               índices terá também que multiplicar pelos
                                                               expoentes do radicando. Veja:
 $\sqrt[3.2]{ 3^{1.3} }. \sqrt[2.3]{ 3^{1.2} }= \sqrt[6]{ 3^{3} }. \sqrt[6]{ 3^{2} }= \sqrt[6]{3^3.3^2} = \sqrt[6]{3^5}$

Proceder da mesma forma para a divisão.