Question

Me ajudem!
Use o Teorema do valor médio para mostrar que existe do valor médio para mostrar que C ∈ ( 0, 1), tal que F'( c) = 0 com f(x) = x^3 -x ?

Answer 1

Boa noite.

Mostrar que existe um C ∈(0,1) tal que F'(c) = 0, com f(x) = x³ -x.

Teorema do valor médio: Seja f contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). Então existe pelo menos um ponto c em (a, b) tal que

f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b -a)

y = f(x) = x³ -x

Intervalo: (a, b) = (0, 1)

f(a) = f(0) = 0³ -0 = 0

f(b) = f(1) = 1³ -1 = 1 -1 = 0

f'(x) = 3x² - 1

f'(c) = 3c² -1

Inserindo no teorema do valor médio:

f'(c) = [f(b) -f(a)] / (b -a)

3c² -1 = (0 -0) / (1 -0) = 0/1 = 0

3c² -1 = 0

3c² = 1

c² = 1/3

c = ±√(1/3) = ±1/√3 = ±(1/√3) * (√3/√3)

c = ±√3/3 ≅ ±0,5773502691 ≅ ±0,58

sendo que somente a solução positiva está no intervalo (0, 1).

No gráfico, pode-se observar o ponto encontrado pelo teorema. A tradução geométrica do teorema do valor médio diz que, entre dois pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)) quaisquer do gráfico de uma função diferenciável f, existe pelo menos um ponto onde a reta tangente ao gráfico é paralela à reta secante que passa por A e B.

A função f(x) = x³ -x é um polinômio, e toda função polinomial é contínua e diferenciável, que é exigência do teorema. Veja que em azul há a reta secante ao gráfico que passa pelos pontos A e B do intervalo, e em vermelho existe uma reta tangente ao gráfico e paralela à essa reta secante, passando pela atura do ponto C(0.57735 , 0) do intervalo (1, 2), o que comprova o teorema do valor médio neste intervalo.

Bons estudos.