Question

No sistema abaixo, a é um número real constante, escolhido de forma que o sistema admita, em sua solução, apenas um valor para y:
X²+2Y-2=0
X²+Y²+Y=a

Nestas condições,

(a) Determine o valor de a.
(b) Com o valor de a obtido no item (a), dê o valor de y.
(c) Com o valor de a obtido em (a), determine o(s) ponto(s) (x,y) que são solução do sistema

Answer 1

a) Da equação x² + 2y - 2 = 0 podemos dizer que: x² = 2 - 2y.

Substituindo o valor de x² na equação x² + y² + y = a, obtemos:

2 - 2y + y² + y = a

y² - y + 2 - a = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Então, pela fórmula de Bháskara:

Δ = (-1)² - 4.1.(2 - a)

Δ = 1 - 8 + 4a

Δ = -7 + 4a

Como queremos que o sistema admita apenas um valor para y, então Δ = 0.

Assim,

-7 + 4a = 0

4a = 7

a = 7/4.

b) Assim, temos que:

y² - y + 2 - (7/4) = 0

y² - y + (1/4) = 0

4y² - 4y + 1 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = (-4)² - 4.4.1

Δ = 0

y = 4/(2.4)

y = 1/2.

c) Substituindo o valor de y em x² = 2 - 2y:

x² = 2 - 1

x² = 1

x = 1 ou x = -1.

Portanto, as soluções do sistema são os pontos (1,1/2) e (-1,1/2).