Question

Determine a solução da equação diferencial exata (x3 + y2)dx + (2xy + cosy)dy.

Answer 1

Sendo (x³ + y²)dx + (2xy + cos(y))dy = 0 uma Equação Diferencial Exata, então temos que:

M(x,y) = x³ + y²

N(x,y) = 2xy + cos(y).

Escolhendo a função M(x,y), temos que integrá-la em relação de x:

$F(x,y)=\int x^3+y^2 dx = \frac{x^4}{4}+xy + \phi (y)$.

Agora, precisamos derivar a função criada acima em relação a y:

$\frac{\partial F}{\partial y} = x + \phi '(y)$.

Devemos igualar a derivada acima à função N(x,y):

2xy + cos(y) = x + φ'(y)

φ'(y) = 2xy + cos(y) - x

Logo,

φ(y) = xy² + sen(y) - xy.

Portanto, a solução da EDO exata é:

$F(x,y) = \frac{x^4}{4}+xy+xy^2+sen(y)-xy$

$\frac{x^4}{4}+xy^2+sen(y) = C$.