Question

Determine o co-seno do ângulo α formado entre os planos π1: 2x-4y+4z+10=0 e π2:6x-8z+4=0. Agora, assinale a alternativa correta.

Answer 1

π1: 2x-4y+4z+10=0  ==> vetor normal ao plano =>(2,-4,4)

π2: 6x-8z+4=0  ==>vetor normal ao plano =>(6,0,-8)

|(2,-4,4)|=√(4+16+16)=6

|(6,0,8)| =√(36+0+64) =10

cos  α = (2,-4,4) * (6,0,-8) /[ |(2,-4,4)|* |(6,0,8)| ]

cos  α = (12+0-32)/[6*10) = -20/60 = - 0,33333......

Answer 2

Considere que n₁ é o vetor normal do primeiro plano e n₂ é o vetor normal do segundo plano.

Sendo assim, o ângulo entre os dois planos é dado por:

cos(\alpha)=|\frac{}{||n_1||||n_2||}|.

O primeiro plano é definido por π₁: 2x - 4y + 4z + 10 = 0. Assim, o vetor normal é igual a n₁ = (2,-4,4).

Já o segundo plano é definido π₂: 6x - 8z + 4 = 0. Logo, o vetor normal é igual a n₂ = (6,0,-8).

Calculando o produto interno entre os vetores n₁ e n₂, obtemos:

<n₁,n₂> = 2.6 - 4.0 - 8.4

<n₁,n₂> = 12 - 32

<n₁,n₂> = -20.

A seguir, temos as normas dos vetores normais:

||n₁|| = √(2² + (-4)² + 4²)

||n₁|| = √36

||n₁|| = 6

e

||n₂|| = √(6² + (-8)²)

||n₂|| = √100

||n₂|| = 10.

Portanto,

cos(\alpha)=|\frac{-20}{6.10}|

cos(\alpha)=\frac{1}{3}.

Alternativa correta: letra B - 1/3