Question

Determine o valor de k para que as retas ((2k+1)x)/3+y=3 e k^2.x+y=1 sejam paralelas.?

Answer 1

Para que as retas $\frac{(2k+1)x}{3}+y=3$ e k²x + y = 1 sejam paralelas, então os vetores direção deverão ser Linearmente Dependentes, ou seja, o determinante entre os dois vetores deverá ser igual a 0.

O vetor direção da reta $\frac{(2k+1)x}{3}+y=3$ é $(\frac{2k+1}{3},1)$.

Já o vetor direção da reta k²x + y = 1 é (k²,1).

Sendo assim, temos que:

$d=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2k+1}{3}&1\\k^2&1\end{array}\right] =0$

$\frac{2k+1}{3}-k^2=0$

-3k² + 2k + 1 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

Δ = 2² - 4.(-3).1

Δ = 4 + 12

Δ = 16

$k=\frac{-2+-\sqrt{16}}{2.(-3)}$

$k=\frac{-2+-4}{-6}$

$k'=\frac{-2+4}{-6} = -\frac{1}{3}$

$k''=\frac{-2-4}{-6}=1$

Portanto, k pode ser igual a 1 ou -1/3.