Question

Determine, em cada caso, o volume de um cone reto em que a planificação da superfície lateral é um setor circular cujo ângulo central mede:
A) 60° e a geratriz mede 5cm;
B) 90° e o raio da base mede 5cm.

Answer 1

a) Vamos calcular o raio da base do cone.

Para isso, é preciso lembrar que o comprimento de um setor é calculado pela fórmula $l=\frac{\pi r \alpha}{180}$.

Como r = 5 e α = 60°, temos que:

$l=\frac{\pi . 5.60}{360}$

$l=\frac{5\pi}{6}$.

Perceba que esse comprimento coincide com o comprimento da circunferência da base.

Sendo assim,

$\frac{5\pi}{6}= 2\pi R$

$R=\frac{5}{12}$ cm.

Agora precisamos calcular a altura do cone. Para isso, utilizaremos o Teorema de Pitágoras:

$h^2 + (\frac{5}{12})^2 = 5^2$

$h^2 = 25 - \frac{25}{144}$

$h^2 = \frac{3575}{144}$

$h=\frac{5\sqrt{143}}{12}$ cm.

Portanto, o volume do cone é igual a:

$V = \frac{1}{3}\pi (\frac{5}{12})^2.\frac{5\sqrt{143}}{12}$

$V=\frac{125\pi\sqrt{143}}{5184}$ cm³.

b) O raio do cone mede 5 cm.

Então, o comprimento da circunferência da base é igual a:

C = 2.5π

C = 10π cm.

Como o ângulo do setor mede 90°, temos que:

$\frac{\pi r . 90}{180} = 10\pi$

r = 40 cm → esse é o raio do setor que coincide com a geratriz do cone.

Para calcular a altura, utilizaremos o Teorema de Pitágoras:

h² + 5² = 40²

h² = 1600 - 25

h² = 1575

h = 15√7 cm.

Portanto, o volume do cone é igual a:

$V=\frac{1}{3}\pi . 5^2 . 15\sqrt{7}$

V = 125π√7 cm³.