Question

Uma senha deve ser formada por quatro letras distintas, seguidas por um n´umero de

trˆes algarismos, tamb´em distintos, seguidos por dois caracteres, n˜ao necessariamente distintos. As quatro letras devem ser vogais (escolhidas entre a, e, i, o, u), o n´umero de trˆes algarismos distintos deve ser maior que 99 e menor que 1000 e os caracteres devem ser escolhidos de um conjunto de 10 caracteres.

Quantas senhas podem ser constru´ıdas seguindo as regras acima?

Answer 1

Pensaremos na resolução em quatro etapas:

i) Pensando para as 4 letras distintas no conjunto (a,e,i,o,u) que tem 5 letras distintas, podemos colocar as 4 letras no formato ABCD, para o conjunto(A,B,C,D) contendo vogais distintas. Logo, temos que:

Para A existem 5 possibilidades de letras

Para B existem 4 possibilidades de letras(uma já foi utilizada)

Para C existem 3 possibilidades de letras(duas já foram utilizadas)

Para D existem 2 possibilidades de letras(uma já foi utilizada)

Logo, existem 5*4*3*2 = 120 possibilidades para letras.

ii) Pensando para um número de 3 algarismos distintos no conjunto (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) que tem 10 algarismos, podemos colocar os 3 algarismos no formato ABC, para o conjunto (A,B,C) contendo 3 algarismos distintos. Logo temos que:

Para A existem 9 possibilidades de algarismos(O algarismo zero não entra pois o número contém 3 algarismos)

Para B existem 9 possibilidades(O único algarismo que não pode ser usado é o A, O zero já poderá ser utilizado)

Para C existem 8 possibilidades(Os únicos algarismos já usados são A e B)

Logo, existem 9*9*8 = 648 possibilidades

iii) Pensando para os 2 caracteres não necessariamente distintos em um conjunto, indefinido, de 10 termos, podemos representá-lo na forma AB. Logo, temos que:

Para A existem 10 possibilidades

Para B existem 10 possibilidades(Como os caracteres não são necessariamente diferentes, quaisquer outro caractere servirá, logo existem 10 caracteres que satisfazem a condição)

Logo, existem 10*10 = 100 possibilidades

iv) Como para cada possibilidade pode-se ter quaisquer outras possibilidades das outras etapas, o total de possibilidades de senhas a serem construídas é:

120 * 648 * 100 =

7.776.000 senhas diferentes que podem ser construídas.