Qual a soma dos múltiplos de três compreendidos entre 10 e 100?
(OBS: EM FORMA DE PA e PG)
(VALENDO MUITOS PONTOS!!!!!!!!!!!!!!!)
Respostas
O primeiro múltiplo de 3 após o 10 é o 12. Depois vem 15,18,21,..., observe que a razão é igual a três. E o último múltiplo é o 99. Daí joga na fórmula
s= (12+99)*30 /2
s=1665
Vamos lá.
Veja, Fabricius, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se a soma de todos os múltiplos de três compreendidos entre "10" e "100". Veja que o primeiro múltiplo de "3" logo após o "10", é o número "12". E o último múltiplo de "3", imediatamente antes do "100" é o número "99". Logo, iremos ter uma PA (Progressão Aritmética) com a seguinte conformação:
(12; 15; 18; 21; ........; 99) <--- Veja que se trata de uma PA cujo primeiro termo é igual a "12", cujo último termo é igual a "99" e cuja razão (r) é igual a "3", pois os múltiplos de "3" ocorrem de três em três unidades.
ii) Primeiro vamos calcular quantos múltiplos de "3" há na PA acima. Para isso, aplicaremos a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:
a ̪ = a₁ + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "a ̪ " por "99", que é o valor do último termo. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "12", que é o valor do primeiro termo. Finalmente, substituiremos "r' por "3", que é o valor da razão da PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
99 = 12 + (n-1)*3 ----- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:
99 = 12 + 3n - 3 ----- ordenando o 2º membro, temos:
99 = 3n + 12 - 3 ------ como "12-3 = 9", teremos:
99 = 3n + 9 ----- passando "9" para o 1º membro, temos:
99 - 9 = 3n ----- como "99-9 = 90", teremos:
90 = 3n ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo. Logo:
3n = 90 ---- isolando "n", temos:
n = 90/3 ---- note que esta divisão dá exatamente igual a "30". Logo:
n = 30 <--- Este é o número de termos que há na nossa PA.
iii) Agora vamos encontrar qual é a soma desses 30 termos. Para isso, aplicaremos a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PA, que é esta:
S ̪ = (a₁+a ̪ )*n/2
Na fórmula acima substituiremos "S ̪ " por "S₃₀", pois estamos querendo a soma dos primeiros 30 termos da PA. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "12", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "a ̪ " por "99", que é o valor do último termo da PA. E, finalmente, substituiremos "n" por "30", que é o número de termos que existe na nossa PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
S₃₀ = (12 + 99)*30/2 ------- como "12+99 = 111" e como "30/2 = 15, iremos ficar assim:
S₃₀ = (111)*15 ---- como "111*15 = 1.665", teremos:
S₃₀ = 1.665 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a soma dos termos da nossa PA.
É isso aí.l
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.