Question

(Fatec) Se $log_{3}2 = u$ e $log_{5} 3 = v$, então $log_{5} \sqrt[5]{100 000}$ é igual a
a) u(u+1)/v
b) (uv+1)
c) 4(u+v)/5
d) 4uv/5
e) u+v

Answer 1

$log_{5}(10000)^{ \frac{1}{5} } = x \\ \\ \frac{1}{5} log_{5}(10000) = x \\ \\ \frac{1}{5} log_{5}(10^{4} ) = x \\ \\ 4 \times \frac{1}{5} log_{5}(10) = x \\ \\ \frac{4}{5} \times log_{5}(2.5) = x \\ \\ \frac{4}{5} ( log_{5}(2) + log_{5}(5) ) = x \\ \\ \frac{4}{5} ( log_{5}(2) + 1) = x \\ \\ \\ \\ log_{3}(2) = u \\ \\ \frac{( log_{5}(2) }{ log_{5}(3) } = u \\ \\ \frac{( log_{5}(2) }{v} = u \\ \\ log_{5}(2) = u.v \\ \\ \frac{4}{5}.( log_{5}(2) + 1) = x \\ \\ \frac{4}{5} (uv + 1) = x \\ \\ log_{5}(10000) ^{ \frac{1}{5} } = \frac{4}{5} (uv + 1)$
R: B

Answer 2

Dados:

$log_3(2) = u \\\\ log_5(3) = v$

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Primeiro simplifique ao máximo a expressão solicitada:

$log_5( \sqrt[5]{100000} ) = log_5( 100000^{ { 1 \over 5}} ) \\\\ { log_5(100000) \over 5} = {log_5(10^5) \over 5} \\\\ = {5log_5(10) \over 5} \\\\ = log_5(10) \\\\ = log_5(5 \times 2) \\\\ = log_5(5) + log_5(2) \\\\ = 1 + log_5(2)$

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Escreva $log_5(2)$ em função de u e v, utilizando a seguinte propriedade:

$log_a(b) = { log_c(b) \over log_c(a) }$

Para tal, devamos deixar u e v na base 5. Como v já está nessa base, precisamos alterar apenas u:

$u = log_3(2) \\\\ u = { log_5(2) \over log_5(3) }$

Perceba que multiplicando u por v, o $log_5(3)$ será cancelado, restando apenas $log_5(2)$.

$uv = { log_5(2) \over log_5(3) } \times log_5(3) \\\\ uv = log_5(2)$

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Substituindo essa informação na expressão que foi simplificada anteriormente:

$log_5( \sqrt[5]{100000} ) = 1 + log_5(2) \\\\ \boxed{ log_5( \sqrt[5]{100000} ) = 1 + uv}$

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→ Resposta: $\mathbf{ Letra \: b) }$