Question

[DESAFIO] Qual a área do retângulo (99 pontos)?

Answer 1

O perímetro do retângulo é 3/4:

$2P=\frac{3}{4}\\\\2^{x+1}+2^{x+1}+2^{x}+2^{x}=\frac{3}{4}\\\\2^{x}\cdot2^{1}+2^{x}\cdot2^{1}+2^{x}+2^{x}=\frac{3}{4}\\\\2^{x}\cdot2+2^{x}\cdot2+2^{x}+2^{x}=\frac{3}{4}\\\\2(2^{x})+2(2^{x})+2^{x}+2^{x}=\frac{3}{4}$

Colocando 2^x em evidência no lado esquerdo:

$2^{x}\cdot(2+2+1+1)=\frac{3}{4}\\\\2^{x}\cdot6=\frac{3}{4}~~~~~(\div~3)\\\\2^{x}\cdot2=\frac{1}{4}\\\\2^{x}=\frac{1}{4\cdot2}\\\\2^{x}=\frac{1}{8}\\\\2^{x}=\frac{1}{2^{3}}\\\\2^{x}=2^{-3}\\\\\boxed{\boxed{x=-3}}$

Achando as medidas do retângulo:

$2^{x+1}=2^{-3+1}=2^{-2}\\2^{x}=2^{-3}$

Achando a área do retângulo:

$A=b\cdot h\\A=2^{x+1}\cdot2^{x}\\A=2^{-2}\cdot2^{-3}\\A=2^{-2-3}\\\\\boxed{\boxed{A=2^{-5}}}$

Answer 2

Perímetro = 2(b + h )

P = 3/4

$2(2^{x+1}+2^x)=P$

$2^{x+1}.2^x=\frac{\frac{3}{4}}{2}$

$2^x.2^1+2^x=\frac{\frac{3}{4}}{2}$

Seja 2^x = t

então:

$t.2^1+t=\frac{\frac{3}{4}}{2}$

$2t+t=\frac{\frac{3}{4}}{2}$

$3t=\frac{\frac{3}{4}}{2}$

$2.3t=\frac{3}{4}$

$6t=\frac{3}{4}$

$6t.4=3$

$24t=3$

$t=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$

Como 2^x = t

Então Substituindo teremos:

$2^x=\frac{1}{8}$

$2^x=\frac{1}{2^3}$

$\cancel{2}^x=\cancel{2}^{-3}$

$\boxed{\begin{array}{Ir}x=-3\end{array}}$

Então Achado o valor do x podemos calcular a área deste rectângulo;

A = b • h

$A=2^{x+1}.2^x$

Para x= -3

$A=2^{-3+1}.2^{-3}$

$A=2^{-2}.2^{-3}$

$\boxed{\begin{array}{Ir}A=2^{-2-3}=2^{-5}\end{array}}$