Question

Cálculo da derivada das funções por definição
F (x)= raiz de x+1

Answer 1

f(x)= √(x+1)

Usando a regra da cadeia

u=x+1

f'(x) = u' * (√u )'

f'(x) = (x+1)' * [(1/2) * u^(-1/2)]

f'(x)  =  1 * 1/2√u

f'(x) =1/(2√(x+1))

Answer 2

A derivada de uma função matemática é a taxa ou taxa de variação de uma função em um determinado ponto. Ou seja, quão rápido uma variação está ocorrendo.

De uma perspectiva geométrica, a derivada de uma função é a inclinação da recta tangente ao ponto onde x está localizado. Em termos matemáticos, a derivada de uma função pode ser expressa da seguinte forma

$\begin{array}{c|c|c}&\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&\end{array}$

• Devemos especificar que o limite de uma função é definido como sua tendência (de qual valor ela se aproxima) quando um de seus parâmetros (neste caso h) se aproxima de um determinado valor.

De acordo com tudo isso, podemos ver que a derivada da nossa função mais usando a definição de derivadas é igual a calcular o seguinte limite:

$f(x)=\sqrt{x+1}\qquad\to\qquad f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sqrt{x+1+h}-\sqrt{x+1}}{h}$

Observe que no denominador temos a variável h e de acordo com nosso limite a variável h está se aproximando de 0 (zero), se você substituir h por 0 tanto no denominador quanto no numerador obteremos um valor indeterminado e isso é que h é no denominador o que faz com que ao dividir por 0 obtenhamos um resultado indeterminado e uma derivada nunca possa ser indeterminada, portanto devemos encontrar um método para eliminar a indeterminação no limite. Em matemática, para simplificar frações com radicais tanto no numerador quanto no denominador, usamos algo conhecido como conjugado e o conjugado é a mesma expressão no numerador ou denominador com sinal diferente, mas para não alterar a igualdade , o que faremos é dividir em conjugado entre si.

$f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sqrt{x+1+h}-\sqrt{x+1}}{h}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}}\\\\\\ f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\left(\sqrt{x+1+h}-\sqrt{x+1}\right)\cdot \left(\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}\right)}{h\cdot\left(\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}\right) }$

Deve-se notar que em matemática, mas especialmente em álgebra, existe algo conhecido como binômio conjugado (um binômio com sinal diferente do original), o produto entre dois binômios conjugados pode ser expresso pelo seguinte resultado:

$\begin{array}{ccc}&\boxed{\bf a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)}\end{array}$

Podemos ver que no numerador da nossa fração temos o produto de dois binômios que também são conjugados e aplicando o resultado do produto desses dois binômios em nosso limite obteremos:

$f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sqrt{x+1+h}^2-\sqrt{x+1}^2}{h\cdot\left(\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}\right) }\\\\\\f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\cancel{x+1}+h-\cancel{x+1}}{h\cdot\left(\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}\right) }\\\\\\ f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\not\!h}{\not\!h\cdot\left(\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}\right) } \\\\\\ f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1} }$

Substituindo h por 0 podemos verificar que a derivada desta função mais usando a definição é igual a:

$f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1+0}+\sqrt{x+1} }\\\\\\f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1} }\\\\\\\boxed{ f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}$

A solução deste limite indeterminado foi a derivada da nossa função mais usando a definição, podemos verificar este resultado aplicando a regra da cadeia.