Question

Prove que o triângulo de vértices A (2, 3, 1), B (2, 1, -1) e C (2, 2, -2) é um triângulo retângulo.

Answer 1

Prove que o triângulo de vértices A (2, 3, 1), B (2, 1, -1) e C (2, 2, -2) é um triângulo retângulo.

Vamos deixar claro 2 pontos:

1- Para ser triangulo retângulo, um de seus 3 ângulos tem que 90º;

2- O teorema de Pitágoras funciona apenas em triângulos retângulos.

Esse problema pode ser resolvido pelo teorema de Pitágoras que fala que hipotenusa² = cateto adjacente² + cateto oposto² [h² = ca² + co²]

Para isso precisamo encontrar as distancias entre ab, bc e ac.

Em geometria analítica a distancia entre dois pontos pode ser calculada pela formula.

$D = \sqrt{(x1-y1)^{2} + (x2 - y2)^{2}$

Agora vamos calcular as distancias nos 3 casos.

1) A distância do lado AC, com A(2; 3; 1) e C(2; 2; -2):

(AC)² = (2 - 2)² + (2 - 3)² + (- 2 - 1)²

(AC)² = (0)² + (- 1)² + (- 3)²

(AC)² = 0 + 1 + 9

(AC)² = 10

1) A distância do lado AB, com A(2; 3; 1) e B(2; 1; -1)

(AB)² = (2 - 2)² + (1 - 3)² + (- 1 - 1)²

(AB)² = (0)² + (- 2)² + (- 2)²

(AB)² = 0 + 4 + 4

(AB)² = 8  

3) A distância do lado BC, com B(2; 1; -1) e C(2; 2; -2)

(BC)² = (2 - 2)² + (2 - 1)² + ( - 2 - ( - 1 ))²

(BC)² = (0)² + (1)² + ( - 2 + 1 )²

(BC)² = (0)² + (1)² + (- 1)²

(BC)² = 0 + 1 + 1

(BC)² = 2  

Você deve estar perguntando porque eu não tirei as raízes quadradas pra descobrir a distancia, é porque vamos usar pitagoras e vamos ter que elevar tudo de novo ao quadrado, pra ficar mais fácil e rápido eu deixei assim.

4) Usando Pitagoras

H² = ca² + co²

(AC)² = 10

(AB)² = 8          

(BC)² = 2       

Agora para afirmativa da questão ser verdadeira, o maior desses 3 tem que ser igual a soma dos outros dois menores.

O maior é 10

A soma dos outros dois menores é 8 + 2 = 10

Ou seja verdadeira.