Question

Determinar k de modo que as retas de equações 3x+y-k=0, 3x-y+1=0 5x-y-1=0 definam um triângulo.

Answer 1

Vamos iniciar a linha de pensamento com o seguinte a equação geral da reta é dada por y=ax+b, então primeiro colocaremos as três equações nesses moldes:

Chamaremos a primeira de equação da reta A:
3x+y-k=0
3x-k=y
y=3x-k

Reta A: y=3x-k

Chamaremos a segunda de equação da reta B:
3x-y+1=0
3x+1=y
y=3x+1

Reta B: y=3x+1

Chamaremos a terceira de equação da reta C:
5x-y-1=0
5x-1=y
y=5x-1

Reta C: y=5x-1

Pelo conhecimento de reta sabemos que na equação y=ax+b, a representa o coeficiente angular da reta gerada pela equação, logo percebemos lá nas nossas retas que a Reta A e a Reta B possuem o mesmo coeficiente angular logo são paralelas, se são paralelas k poderá ser qualquer número que sempre serão paralelas e com 02 retas paralelas é impossível formar um triangulo seja qual for a Reta C, veja isso graficamente no site:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D3x%2B1%2C+y%3D5x-1%2C+y%3D3x%2B7

Lá o site irá desenha as 3 Retas em questão. Na barra de texto estão as equações geradoras, a ultima equação da barra de texto é a equação do nosso k, no caso coloquei k como sendo igual a 7 porém você mesmo pode alterar o número sete para qualquer número pressionar ENTER e perceberá que para qualquer k nunca será possível formar um triângulo.

Resposta: Para qualquer k, é impossível formar uma triângulo.