Question

[CÁLCULO II] A altura h das ondas em mar aberto depende da velocidade v do vento e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h = f(v,t)

são apresentados em pés na tabela. (imagem)

a) Qual o significado das derivadas parciais dh/dv e dh/dt?

b) Estime os valores de fv(80,15) e ft(80,15). Quais são as interpretações práticas desses valores?

c) Qual parece ser o valor do seguinte limite? $\lim_{t \to \infty} \frac{dh}{dt}$

Answer 1

Bom dia!

Vamos a resolução detalhada da questão, ok?

a) Qual o significado das derivadas parciais dh/dv e dh/dt?

O significado de dh/ dv em si, referem-se a derivada parcial no caso da questão é duração de horas e o de Dv é derivada de velocidade. Essa derivada nos explica quando em um período de tempo imutável acontece a variação da altura das ondas em relação ao vento e sua velocidade.  

b) Estime os valores de fν(80, 15) e ft(80, 15). Quais são as interpretações práticas desses valores?

Tendo na fórmula dh/dt a relação entre altura das ondas e o tempo, quando a velocidade permanece a mesma, estamos representando no caso a rapidez com que as ondas acontecem em alturas distintas/variáveis, isso relacionado a duração do tempo e sua variação, tendo a velocidade do vento constante.  

Vamos fazer um cálculo simples. Sendo Lim(h→0)  

∫x(80,15)= lim.∫ (80 +/- h,15) –∫ (80,15)/h

∫x(80,15)= lim. ∫ (80,15 +/- h) – ∫(80,15)/h

Verificando na tabela temos: v=80 h= +/- 20, logo:

∫v (80,15) = lim ∫(100,15) –∫(80,15)/20

= 11- 7,7/20  

= 0,165 (aproximadamente.)

Segundo caso usando -20:

∫v (80,15)= lim .∫(60,15)- ∫(80,15)/20

= 4,9-7,7÷-20

= 0,14

Resultado de ∫v: o valor de∫v (80,15) corresponde a : 0, 1525

Calculando ∫t:

∫t (80,15)= lim ∫(80,20)- f (80,15)/5

= 8,6-7,7÷5

= 0,18

∫t(80,15)= lim ∫ (80,10) – f(80,15)

= 6,4-7,7÷-5

= 0,26

Resultado ∫t= 0,22

Interpretação dos valores: Quando o vento é de 80 km/h e está constante com a duração de 15h, as ondas tem sua altura variando de 0,15 a 1 km/h. Nesse caso o aumento da altura irá variar de 0,22 de 1 em 1 hora, sendo o vento constante.  

c) Qual parece ser o valor do seguinte limite?

O valor do limite indicado é 0. Isso porque o gráfico indica um comportamento constante do vento em relação ao tempo. Com a variação de um tempo muito grande vemos que a variação da altura das ondas é nula se relacionada ao tempo.