Encontre o décimo terceiro termo da PA (2,9,16...)

Respostas

respondido por: orielandrade2013

$r = a2 - a1 \\ r = 9 - 2 \\ r = 7 \\ a13 = a1 + 12r \\ a13 = 2 + 12.(7) \\ a13 = 2 + 84 \\ a13 = 86$

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (2, 9, 16,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:2

c)décimo terceiro termo (a₁₃): ?

d)número de termos (n): 13 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 13ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do décimo terceiro termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 9 - 2 ⇒

r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo terceiro termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₃ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₃ = 2 + (13 - 1) . (7) ⇒

a₁₃ = 2 + (12) . (7) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₃ = 2 + 84⇒

a₁₃ = 86

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo terceiro termo da P.A.(2, 9, 16, ...) é 86.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₃ = 86 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo terceiro termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₃ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

86 = a₁ + (13 - 1) . (7) ⇒

86 = a₁ + (12) . (7) ⇒

86 = a₁ + 84 ⇒ (Passa-se 84 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

86 - 84 = a₁ ⇒

2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2 (Provado que a₁₃ = 84.)

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