Question

Determine os valores de X em que a função $f(x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3}x ^{3} - x^{2} + 1$ tem valores extremos relativos, indicando qual desses valores é máximo ou mínimo.

Answer 1

Para calcular os candidatos à extremos relativos da função $f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2+1$ temos que derivar f.

Sendo assim,

f'(x) = x³ + x² - 2x.

Agora, precisamos igualar a derivada a 0:

x³ + x² - 2x = 0

Colocando o x em evidência:

x(x² + x - 2) = 0

x = 0 ou x² + x - 2 = 0.

Em x² + x - 2 = 0 utilizaremos a fórmula de Bháskara:

Δ = 1² - 4.1.(-2)

Δ = 1 + 8

Δ = 9

$x=\frac{-1+-\sqrt{9}}{2}$

$x=\frac{-1+-3}{2}$

$x'=\frac{-1+3}{2}=1$

$x''=\frac{-1-3}{2}=-2$

Assim, os candidatos à extremos relativos de f são x = -2, x = 0 e x = -1.

Agora, temos que analisar duas situações: f'(x) > 0 e f'(x) < 0.

f'(x) > 0 ⇔ -2 < x < 0 ou x > 1

f'(x) < 0 ⇔ x < -2 ou 0 < x < 1.

Pelo Teste da Primeira Derivada podemos concluir que f possui um máximo relativo em x = 0 e mínimos relativos em x = -2 e em x = 1.