Question

num triângulo ABC as medidas AM e BN sao perpendiculares entre si . sabendo que os seguimentos AC e BC medem respectivamente 6cm e 8cm calcule AB.

Answer 1

Como AM e BN são medianas, elas dividem os segmentos BC e AC, respectivamente, na metade (veja a figura em anexo).

Recordando as propriedades das medianas:

"O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice."

Portanto, chamando de G o ponto de encontro dessas medianas, temos:

AG = 2·GM = 2/3·x

BG = 2·GN = 2/3·y

Aplicando Pitágoras nos triângulos retângulos MBG e NAG, temos:

MG² + GB² = MB²

(1/3·x)² + (2/3·y)² = 4²

x²/9 + 4y²/9 = 16

x² + 4y² = 144  

NG² + AG² = NA²

(1/3·y)² + (2/3·x)² = 3²

y²/9 + 4x²/9 = 9

4x² + y² = 81  

Fazendo um sistema de equações, temos:

{x² + 4y² = 144  

{4x² + y² = 81   ⇒  ·(- 4)

{      x² + 4y² = 144

{- 16x² - 4y² = - 324  +

- 15x² = - 180

15x² = 180

x² = 180/15

x² = 12

Agora, o valor de y².

4x² + y² = 81

4(12) + y² = 81

48 + y² = 81

y² = 81 - 48

y² = 33

No triângulo retângulo ABG, temos:

AG² + BG² = AB²  

AB² = (2/3·x)² + (2/3·y)²

AB² = 4/9·(x² + y²)  

AB² = 4/9·(12 + 33)  

AB² = 4/9·45

AB² = 20

AB = √20

AB = 2√5

Resposta: AB = 2√5.