Question

(ITA) Dadas duas retas concorrentes, determine o lugar geométrico dos pontos P tais que a diferença das distâncias de P a essas retas seja constante e igual a k, dado.

Answer 1

Comentário inicial: Para ter um melhor entendimento aconselho que veja a resolução escrita, que foi anexada. Nesta foi realizado desenhos fundamentais para a compreensão do exercício.

Sejam $r_{1}$ e $r_{2}$ duas retas concorrentes, $x_{1}$ a projeção de P em $r_{1}$, $x_{2}$ a projeção de P em $r_{2}$ e $x_{3}$ um ponto sobre o segmento $Px_{2}$ tal que $x_{3} x_{2}=Px_{2}-Px_{1}= k$

Tome uma paralela s a $r_{2}$, por $x_{3}$. Veja que $Px_{3}=Px_{1}$ e $Px_{3}$ é perpendicular s.

Logo P está sobre as bissetrizes do ângulo entre s e $r_{1}$.

De maneira análoga, usando as regiões do plano descritas por $r_{1}$ e $r_{2}$, temos o lugar geométrico esperado.

A distância entre P e $r_{1}$ é K.

Veja que as semirretas são paralelas às bissetrizes do ângulo entre $r_{1}$ e $r_{2}$. Dessa forma se variarmos P variaremos a distância deste ponto a $r_{1}$, logo os pontos fora do lugar geométrico descrito não satisfazem a condição do enunciado.

Espero ter ajudado. Caso tenha dúvidas quanto a resolução, fique a vontade para usar os comentários. Bons estudos!