Question

Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos
de uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ e o termo independente de (ax - $\frac{b}{\sqrt{x}}$)¹² é igual a 7920, então a+b é?

Answer 1

Se a e b pertencem a uma PG de razão $\frac{1}{2}$ , então : a = 2b

E ainda que o termo independente de (ax - $\frac{b}{\sqrt{x}}$)¹² = 7920, então temos a binomial (chamaremos ela de K) de 12 e b onde x⁰ como sendo:

K . (ax)¹²⁻ᵇ . (-1)ᵇ . (b(√x)⁻¹)ᵇ

Separando os termos, temos que:

(-1)ᵇ . K . a¹²⁻ᵇ . bᵇ . x¹²⁻ᵇ . (√x)⁻ᵇ

Calculando a potência de base x para que reste o termo independente (potência de x = 0) , temos que:

12 - b - $\frac{b}{2}$ = 0

12 - $\frac{3b}{2}$ = 0

3b = 24

b = 8

Então temos que o termo independente de (ax - $\frac{b}{\sqrt{x}}$)¹² é:

(-1)⁸ . K . a¹²⁻⁸ . b⁸ . x⁰ = 7920

Sabendo então que com o denominador binomial 8, K = C₍₁₂,₈₎ :

1 . $\frac{12!}{(12-8)!8!}$ . a⁴ . b⁸ = 7920

$\frac{12 . 11 . 10 . 9 . 8!}{4! 8!}$ . a⁴b⁸ = 7920

495.a⁴.b⁸ = 7920

a⁴b⁸ = $\frac{7920}{495}$

a⁴b⁸ = 16

• Fazendo à potência de $\frac{1}{4}$ nos dois lados, temos que:

ab² = 2

Montando o sistema:

$\left \{ {{a=2b} \atop {ab^2=2}} \right.$

(2b).b² = 2

2b³ = 2

b = ∛1

b = 1

a.1 = 2

a = 2

Somando a e b temos que : 2+1 = 3

RESULTADO : 3