Question

O valor do número real b para o qual existe uma progressão geométrica cuja soma dos n primeiros termos, para qualquer número inteiro positivo n, é igual a 3^(n+1) + b é:
a) 3
b) -3
c) 2
d)-2

Answer 1

De acordo com o enunciado, a soma dos n primeiros termos da Progressão Geométrica é $Sn=3^{n+1}+b$.

Como é válido para qualquer inteiro positivo n, então:

Para n = 1 obtemos

$S_1=3^{1+1}+b$

S₁ = 3² + b

S₁ = 9 + b.

Ou seja, podemos afirmar que o primeiro termo da PG é a₁ = 9 + b.

Para n = 2 obtemos

$S_2 = 3^{2+1}+b$

S₂ = 3³ + b

S₂ = 27 + b

ou seja, se somarmos os dois primeiros termos da PG obtemos 27 + b.

Assim,

9 + b + a₂ = 27 + b

a₂ = 18.

Para n = 3 obtemos

$S_3=3^{3+1}+b$

S₃ = 3⁴ + b

S₃ = 81 + b

ou seja, se somarmos os três primeiros termos da PG obtemos 81 + b.

Assim,

9 + b + 18 + a₃ = 81 + b

a₃ = 54.

Perceba que a Progressão Geométrica é da forma 9 + b, 18, 54, ...

Sendo assim, podemos calcular a razão:

$\frac{18}{9+b} =\frac{54}{18}$

$\frac{18}{9+b}=3$

18 = 27 + 3b

3b = -9

b = -3.

Portanto, a alternativa correta é a letra b).