Question

Uma caixa d'água está localizada num ponto P de um terreno plano, conforme representado na figura. Ela é avistada do ponto A sob um ângulo de 30° e do ponto B sob um ângulo de 45°. Sabendo-se que a medida do ângulo APB é 90° e a distância entre os pontos A e B é 100m, calcule, em metros, a altura da caixa d'água.

Answer 1

Vamos considerar que o ponto C é o topo da caixa d'água. Sendo assim, a altura da mesma equivale ao segmento CP.

Ao traçarmos o segmento AB, perceba que obtemos 3 triângulos retângulos: ACP, BCP e ABP.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABP, obtemos:

AP² + BP² = 100²

AP² + BP² = 10000

BP² = 10000 - AP² (*)

Nos triângulos ACP e BCP temos que:

$tg(30)=\frac{CP}{AP}$ e $tg(45)=\frac{CP}{PB}$.

Como tg(45) = 1, então podemos concluir que PB = CP.

Assim,

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{PB}{AP}$

$\frac{3}{9}=\frac{PB^2}{AP^2}$

AP² = 3PB²

Substituindo o valor de (*):

AP² = 3(10000 - AP²)

AP² = 30000 - 3AP²

4AP² = 30000

AP² = 7500.

Assim,

$\frac{3}{9}=\frac{CP^2}{7500}$

CP² = 2500

CP = 50.

Portanto, a altura da caixa d'água é de 50 metros.