Question

Dois pontos materiais de massas m e 4m, respectivamente, estão separados por uma distância d. A que distância de m em função de d deve ser colocado um terceiro ponto material de massa 2m, para que seja nula a resultante das forças gravitacionais sobre ele?

Answer 1

Para que a resultante seja nula, as forças que devem agir no ponto material de massa 2m devem ser iguais e de sentidos opostos, isso só poderá acontecer se o ponto material for colocado entre m e 4m. Seja x a distância entre m e 2m, como a distância entre m e 4m é d, então a distância entre 2m e 4m é (d-x). A força gravitacional é definida como:

$fg = \frac{g \times m1 \times m2}{ {d}^{2} }$

No qual g é a constante gravitacional e d é a distância que separa os corpos de massa. Como a força gravitacional devido a 4m e m sobre 2m devem ser iguais, segue que:

$\frac{g \times m \times 2m}{ {x}^{2} } = \frac{g \times 4m \times 2m}{ {(d - x)}^{2} }$

Dividindo ambos os lados por (gxmxm), Obtemos

$\frac{2}{ {x}^{2} } = \frac{8}{ {(d - x)}^{2} } \\ 8 {x}^{2} = 2 \times {(d - x)}^{2} \\ \frac{8}{2} {x}^{2} = {(d - x)}^{2} \\ 4 {x}^{2} = {(d - x)}^{2}$

Extraindo a raiz de ambos os lados:

$2x = d - x \\ 3x = d \\ x = \frac{d}{3}$