Quantas diagonais ten um poligono regular cujo ângulo interno mede 135°?

Respostas

respondido por: AladdinUzumaki

ai: ângulo interno

Si: soma dos ângulos internos

n: número de ângulos

d: diagonal

Sabe-se que a medida de um ângulo interno é calculada pela fórmula:

ai = Si / n ⇒ Si = ai.n, (I)

Sabemos também que o cálculo da soma dos ângulos internos é dada pela fórmula:

Si = 180º . (n - 2), (II)

Aplicando a equação (I) em (II), temos:

ai.n = 180º (n - 2)

135ºn = 180ºn - 360º

45ºn = 360º

n = 8 lados

Agora basta calcularmos o número de diagonais:

d = n/2 (n - 3)

d = 8/2 (8-3)

d = 4 . 5

d = 20 diagonais

espero ter ajudado por aladdin

respondido por: adjemir

Vamos lá.

Veja, Manina, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o número de diagonais de um polígono regular cujo ãngulo interno mede 135º.

ii) Note que a fórmula para encontrar o número de diagonais de um polígono regular é dada da seguinte forma:

d = n*(n-3)/2 . (I)

Na fórmula acima, tem-se que "d' é o número de diagonais e "n" é o número de lados.

iii) Como você está vendo pela fórmula (I) acima, para que possamos encontrar o número de diagonais do polígono, teremos primeiro que calcular qual é o número de lados desse polígono. Então vamos aplicar a fórmula para encontrar o número de lados de um polígono a partir da medida do seu ângulo interno. A fórmula é esta:

ai = 180*(n-2)/n . (II)

Na fórmula (II) acima, tem-se que "ai" é a medida do ângulo interno e "n" é o número de lados. Como já sabemos que um ângulo interno do polígono da sua questão mede 135º, então vamos substituir "ai" por essa medida. Logo:

135 = 180*(n-2)/n ----- multiplicando-se em cruz, teremos:

n*135 = 180*(n-2)

135n = 180*(n-2) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:

135n = 180n - 360 ---- passando "180n" para o 1º membro, teremos:

135n - 180n = - 360 ---- como "135n - 180n = - 45n", teremos:

- 45n = - 360 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:

45n = 360 ----- isolando "n" temos:

n = 360/45 ---- note que esta divisão dá exatamente igual a "8". Logo:

n = 8 <--- Este é o número de lados do polígono da sua questão (é um octógono).

iv) Agora vamos encontrar o número pedido de diagonais desse polígono (do octógono). Para isso, vamos na expressão (I), que é esta:

d = n*(n-3)/2 ----- substituindo-se "n" por "8", teremos:

d = 8*(8-3)/2 ----- desenvolvendo, teremos: