Question

Se as coordenadas de um dado ponto satisfazem a equação do plano, o ponto pertence ao plano. Caso contrário, o ponto não pertence ao plano. Considerando o plano cuja equação geral pode ser determinada a partir dos pontos A (1, 2, 3), B (-1, 0, 1) e C (3, -2, 2) analise as afirmativas a seguir: l, O ponto de origem do sistema de coordenadas, o (0, 0, 0), pertence ao plano; ll, O ponto D (-3, -2, -1) pertence ao plano; lll, O ponto E ( -3, 5, 1)pertence ao plano; Está correta (as) A, apenas l. B, apenas ll. C, apenas lll. D, apenas l e ll. E, apenas l e lll.

Answer 1

Como o plano passa pelos pontos A = (1,2,3), B = (-1,0,1) e C = (3,-2,2), então vamos definir os vetores AB e AC:

AB = (-1-1, 0-2, 1-3)

AB = (-2,-2,-2)

e

AC = (3-1, -2-2, 2-3)

AC = (2,-4,-1).

Agora vamos calcular o produto vetorial AB x AC:

$AB.AC=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&-2&-2\\2&-4&1\end{array}\right]$

AB.AC = -6i - 6j + 12k.

Assim, o plano é da forma: -6x - 6y + 12z = d.

Para calcular o valor de d vamos substituir um dos pontos na equação:

-6.(-1) - 6.0 + 12.1 = d

6 + 12 = d

d = 18.

Assim, a equação do plano é:

-6x - 6y + 12z = 18

-x - y + 2z = 3.

Agora, vamos analisar as afirmativas:

I. O ponto (0,0,0) não pertence ao plano, pois 0 ≠ 3.

II. Sendo D = (-3,-2,-1), temos que:

-(-3) - (-2) + 2.(-1) = 3 + 2 - 2 = 3.

Portanto, D pertence ao plano.

III. Sendo E = (-3,5,1), temos que:

-(-3) - 5 + 2.1 = 3 - 5 + 2 = 0.

Portanto, E não pertence ao plano.

Portanto, a alternativa correta é a letra b).