Question

$\lim_{x \to \infty} \frac{x(2x-7cosx)}{3 x^{2} -5senx+1}$

Answer 1

$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{x*(2x-7*cos(x))}{3x^2-5*sin(x)+1}\right]$

se substituirmos a tendência vamos encontra $\frac{\infty}{\infty}$

Então vamos multiplicar o numerador por x

$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2-7x*cos(x)}{3x^2-5*sin(x)+1}\right]$

Agora tiremos em evidência o $x^2$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{x^2*(2-7*\frac{1}{x}*cos(x))}{x^2*(3-5*\frac{1}{x^2}*sin(x)+\frac{1}{x^2})}\right]$

Simplifica os $x^2$ que estão fora dos parênteses

$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2-7*\frac{1}{x}*cos(x)}{3-5*\frac{1}{x^2}*sin(x)+\frac{1}{x^2}}\right]$

agora substitui a tendência

$\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2-7*\frac{1}{\infty}*cos(\infty)}{3-5*\frac{1}{(\infty)^2}*sin(\infty)+\frac{1}{(\infty)^2}}\right]$

os valores, máximos e mínimos para seno e cossenos são $[-1,1]$ então dividido por infinito eles vão zerar, e $\frac{1}{(\infty)^2}=0$ sem dúvidas

desta forma

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{x*(2x-7*cos(x))}{3x^2-5*sin(x)+1}\right]=\frac{2}{3}}}$