Question

Resolva as equações em [0, 2π]

a) 2sen x - sen x = √3/2


b) sen²x - 2 cos x + cos²x = -1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cintita, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se as raízes das equações abaixo no intervalo fechado [0; 2π], que equivale, em graus, ao intervalo [0º; 360º].

i.a) 2sen(x) - sen(x) = √(3)/2 ----- note que "2sen(x)-sen(x) = sen(x)". Logo:

sen(x) = √(3)/2 ---- note que o seno é igual a √(3)/2 , em todo o círculo trigonométrico apenas nos arcos de 60º (ou π/3 radianos) e 120º (ou 2π/3 radianos). Logo, para a equação do item "a" temos que as raízes são estas, em todo o círculo trigonométrico:

x' = π/3; x'' = 2π/3 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) sen²(x) - 2cos(x) + cos²(x) = - 1 ---- vamos ordenar, ficando assim:

sen²(x) + cos²(x) - 2cos(x) = - 1 ---- note que, conforme a primeira relação fundamental da trigonometria, temos que "sen²(x)+cos²(x) = 1". Logo, substituindo-se "sen²(x) + cos²(x) por 1" iremos ficar assim:

1 - 2cos(x) = - 1 ---- passando "1' para o 2º membro, temos:

- 2cos(x) = - 1 - 1

- 2cos(x) = - 2 --- multiplicando ambos os membros por "-1", temos:

2cos(x) = 2 --- isolando cos(x), teremos:

cos(x) = 2/2

cos(x) = 1

Agora note que, em todo o círculo trigonométrico, o cosseno é igual a "1" nos ângulos de 0º (ou 0 radianos) e 360º (ou 2π radianos). Assim, as duas raízes da equação do item "b" serão estas:

x' = 0; x'' = 2π <--- Esta é a resposta para o item "b".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

Answer 2

a)

$\mathsf{2sen(x) -sen(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}}$

Considere sen(x) como y.

2y -y = y = sen(x)

$\mathsf{sen(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}}$

De acordo com ângulos notáveis, seno de 60º é $\frac{\sqrt{3}}{2}$, então x é 60º.

[Veja a imagem]

sen(60º) será igual a (120º)

É dado o período de 0 a 2π, converte-se de graus para radianos

• Se π = 180º

→ Regra de 3

$\frac{\pi }{x} = \frac{180}{60} \\ \\ x = \frac{60\pi }{180} \\ \\ x = \frac{\pi }{3}$

$\frac{\pi}{x} = \frac{180}{120} \\ \\ x = \frac{120\pi}{180} \\ \\ x = \frac{2\pi}{3}$

x' = 2π/3 ; x'' = π/3

b)

$\mathsf{sen^{2}(x) -2cos(x) +cos^{2}(x) = -1 }$

De acordo com a equação fundamental

$\boxed{\mathsf{sen^{2}x+cos^{2}x=1}}$

Então

$\mathsf{-2cos(x) +1 = -1} \\ \mathsf{-2cos(x) = -1 -1} \\ \mathsf{-2cos(x) = -2} \\ \mathsf{cos(x) = \frac{-2}{-2}} \\ \mathsf{cos(x) = 1}$

[ Veja a imagem ]

Cos(0) = 1 ; Cos(360) = 1

(Para não ser muito repetitivo e dado que já passei como se converter por regra de 3, irei deduzir o resultado passando o raciocínio para tal)

0 multiplicado por qualquer valor é 0, portanto ao fazer a conversão chegará a 0.

360º é o dobro de 180, que é o valor de π. Então 360º = 2 * 180, logo 360º = 2π

x' = 0 ; x'' = 2π