Respostas
F(x) = (x - 1)^3
Vamos agr estipular o "x" para saber o caminho que a parábola faz no gráfico.
Antes, vc faz um gráfico no qual a linha horizontal é o X e a linha vertical é o Y
F(-2) = (-2 - 1)^3 = -27
X = -2 Y = -27
F(-1) = (-1 - 1)^3 = -8
X = -1 Y = -8
F(1) = (1 - 1)^3 = 0
X = 1 Y = 0
F(2) = (2 - 1)^3 = 1
X = 2 Y = 1
Usanso essas coordenadas, vc perceberá que a parábola é crescente, isso quer dizer que vértice da parábola está voltado para cima.
Vamos lá.
Veja, Daniele, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para determinar o vértice da parábola e a imagem da função definida por:
f(x) = (x-1)² + 3 ------ note que nós é que colocamos (x-1)², pois você não colocou isso no enunciado da questão. E acreditamos que seja como nós escrevemos porque é pedido o vértice da "PARÁBOLA". E só há parábola se a equação for quadrática. Por isso é que resolvemos, por nossa conta, escrever a função da forma que o fizemos aí em cima, ok?
Então vamos desenvolver o quadrado pra ver como é que a função ficará. Fazendo isso, teremos:
f(x) = x²-2x+1 + 3 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
f(x) = x² - 2x + 4 ------- agora note: esta equação do 2º grau tem delta negativo [(-2)² - 4*1*4 = 4 - 16 = - 12<--- olha aí: o delta é negativo]. Isso significa que ela NÃO terá raízes reais, mas apenas raízes complexas. E quando isso ocorre, você "vai depressa" e olha qual é sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para saber qual é a concavidade da parábola. Como o termo "a" é positivo, isso significa que o gráfico da função (parábola) terá concavidade voltada pra cima (tem ponto de mínimo) e NÃO cortará o eixo dos "x", ou seja, começará acima do eixo dos "x", exatamente no local do vértice da parábola, que daqui a pouco vamos saber qual é ele.
ii) Agora vamos encontrar qual é ponto que dá o vértice da parábola, que vamos chamá-lo assim: P(xv; yv), sendo o ponto "P" o local das coordenadas do vértice da parábola, e "xv" a abscissa do vértice, e "yv" a ordenada do vértice, que são encontrados assim [note que sendo a equação f(x) = x² - 2x + 4, os coeficientes serão estes: a = 1 --- (é o coeficiente de x²); b = - 2 --- (é o coeficiente de x); c = 4 --- (é o coeficiente do termo independente)]:
xv = - b/2a ----- fazendo as devidas substituições (vide coeficientes acima), teremos:
xv = -(-2)/2*1 ---> xv = 2/2 ----> xv = 1 <-- Esta é a abscissa do vértice.
e
yv = - (b²-4ac)/4a ---- fazendo as devidas substituições (vide coeficientes acima), teremos:
yv = - ((-2)² - 4*1*4)/4*1 ------> yv = - (4 - 16)/4 ------> yv = -(-12)/4 -----> yv = 12/4 -----> yv = 3 <---- Esta é a ordenada do vértice.
Assim, o ponto P(xv; yv) que dá as coordenadas do vértice será este:
P(1; 3) <----- Este é o ponto que dá as coordenadas do vértice. Ou seja esta é a resposta quanto às coordenadas do ponto do vértice da parábola da equação da sua questão.
iii) Agora vamos dar o conjunto-imagem da função dada [f(x) = x²-2x+4].
Antes veja que toda equação do 2º grau terá o conjunto-imagem "maior ou igual" ou "menor ou igual" que o "y" do vértice (yv). Será "maior ou igual" que o "y" do vértice se a parábola tiver concavidade voltada pra cima. E será "menor ou igual" que o "y" do vértice se a parábola tiver concavidade voltada pra baixo. No caso, como vamos ter um ponto de mínimo, então é porque a concavidade é voltada pra cima. E, então, o conjunto-imagem será dado por (veja que o "y" do vértice da questão da sua questão é igual a "3"):
f(x) ≥ 3 ----- Esta é a resposta quanto ao conjunto-imagem da função da sua questão.
iv) Apenas pra você uma ideia visual, veja o gráfico dessa função no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei construir gráficos) e constate tudo o que se disse sobre ela aí em cima. Veja lá:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+(x-1)%C2%B2+%2B+3
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.