Question

>CÁLCULO 1 >DERIVADAS

O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico, cresce à razão de ¼ cm/ano e sua altura
cresce à razão de 1m/ano. Determine a taxa de variação do volume do tronco quando o diâmetro é 3 cm e sua altura é 50 cm.

Answer 1

diâmetro=d=2r=3 ==>raio = r=3/2

altura=h =50 m =5000 cm (corrija são 50 m)

V=r²*π * h

d/dt= 2 * dr/dt =1/4 cm /ano

dh/dt =1 m/ano = 100 cm /ano

dV/dt = 2r*π * dr/dt  * h   + r²*π * dh/dt

dV/dt= 2* 3/2 * π * dr/dt * 5000 + (3/2)²*π * 100

dV/dt=  3/2 * π* (2* dr/dt) * 5000 + (3/2)²*π * 100

dV/dt=  3/2 * π * 1/4 * 50000+ (3/2)²*π* 100

dV/dt= 1875 π + 225 π= 2100 π cm³/ano é a resposta

Answer 2

Dados

$\mathsf{\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{1}{4}~cm/ano}$

$\mathsf{\dfrac{dH}{dt}=1~m/ano=100cm/ano}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=? }$

$\mathsf{D=3cm\to~R=\dfrac{3}{2}cm}$

$\mathsf{H=50m\to~5000cm}$

Solução:

$\mathsf{V=\pi.{R}^{2}.H=\pi({R}^{2}.H)}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\pi(2R.\dfrac{dR}{dt}.H+{R}^{2}.\dfrac{dH}{dt})}$

Substituindo temos:

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\pi(2.\dfrac{3}{2}. \dfrac{1}{4}.5000+\dfrac{9}{4}.100)}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\pi(\dfrac{15000}{4}+\dfrac{900}{4})=\pi\dfrac{15900}{4}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=3975\pi~{cm}^{3}/ano}}}$