(VUNESP − adaptada) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem, então, pode-se afirmar corretamente que (A + B )2 = A2 + 2AB + B2
Escolha uma:
a. sempre, pois é uma expansão binomial.
b. sempre, pois o produto de matrizes é associativo.
c. quando o produto AB for comutativo com BA.
d. se, e somente se, uma delas for a matriz identidade.
e. se, e somente se, A = B.
Respostas
Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem, então, pode-se afirmar corretamente que (A + B)² = A² + 2AB + B²
isso é verdadeiro se AB = BA
portanto alternativa correta é c. quando o produto AB for comutativo com BA.
Se A e B são matrizes nxn então (A+B)²=A²+2AB+B² só ocorre quando o produto AB e BA for comutativo. Portanto, a alternativa correta é a letra C.
Álgebra linear
Deve-se identificar se a afirmação abaixo está correta.
Afirmação: "Se A e B são matrizes nxn então (A+B)²=A²+2AB+B²"
Para identificar o valor lógico da afirmação é preciso desenvolver o binômino quadrado.
(A+B)² = (A+B).(A+B)
Aplicando a propriedade distributiva de matrizes:
=> (A+B).(A+B) = (A+B).A+(A+B).B
=> A.A+B.A+A.B+B.B = A²+BA+AB+B²
Agora é o ponto-chave da questão, será possível reduzir os termos AB+ BA para 2AB assim ocorre nos números reais?
E a resposta é depende! Os produtos entre matrizes nem sempre é comutativo, ou seja, nem sempre AB = BA. Logo, nem sempre será possível simplificar AB e BA para 2AB.
Portanto, a afirmação só está correta quando AB = BA, ou seja, quando o produto AB e BA é comutativo.
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