Question

Resolução mais didática possível, obrigado !

lim $\frac{ sen2x - cos 2x - 1}{cosx - sex}$
x → π/4

Answer 1

$cos2x = 2cos^2x-1 \quad e \quad sen2x=2senxcosx$

substituindo essas identidades na fração, temos:

$\frac{2senxcosx-(2cos^2x-1)-1}{cosx-senx} = \frac{2senxcosx-2cos^2x}{cosx-senx} = \frac{2cosx(senx-cosx)}{cosx-senx}=-2cosx$

Logo,

$\lim_{x \to \pi/4} -2cosx=-2. \frac{ \sqrt{2} }{2} =- \sqrt{2}$

Answer 2

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{sen(2x)-cos(2x)-1}{cos(x)-sen(x)}$

aplicando as identidades
$\Bmatrix{cos(2x) = 2*cos^2(x)-1\\\\\ sen(2x) =2*sen(x)*cos(x)}\end$

então o numerador fica
$2*sen(x)*cos(x) - [2*cos^2(x)-1] -1\\\\ = 2*sen(x)*cos(x)-2*cos^2(x) \\\\ \text{colocando 2cos(x) em evidencia}\\\\ =\boxed{ 2*cos(x) *[sen(x)-cos(x)]}$

pra simplificar com o denominador vc teria que ter 
cos(x) -cos(x) 

então é só colocar o -1 em evidencia no numerador
$2*cos(x) *(-1)[-sen(x)+cos(x)]\\\\ -2*cos(x)*[cos(x)-sen(x)]$

aplicando o limite
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{-2*cos(x)*[cos(x)-sen(x)]}{(cos(x)-sen(x)} = -2*cos(x) = -2*cos( \frac{\pi}{4} )= -2* \frac{1}{ \sqrt{2} }$

racionalizando pra tirar a raíz do denominador
multiplica em cima e em baixo por raiz de 2

$-2* \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2}* \sqrt{2} } = -2* \frac{ \sqrt{2} }{( \sqrt{2} )^2} = \frac{-2* \sqrt{2} }{2}= - \sqrt{2}$

$\boxed{\boxed{\lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{sen(2x)-cos(2x)-1}{cos(x)-sen(x)} =- \sqrt{2} }}$