Question

Seja N o menor número inteiro positivo pelo qual
se deve multiplicar 4200 para que o resultado seja
o quadrado de um número natural. Qual é a soma
dos algarismos de N?

a) 10
b) 6
c) 9
d) 4
e) 8

Answer 1

Perceba que um número ao quadrado nada mais é do que o quadrado dos números que o compõe. Por exemplo:

$6^{2} = 36 = (2^{2}.3^{2})$

Assim, se o número 4200 for decomposto em fatores primeiros, teremos:

$4200 = (2^{3}.3.5^{2}.7)$

Mas, esse número não é quadrado perfeito. Para que se torne assim, ele deveria ter seus expoentes múltiplos de 2, conforme o exemplo inicial.

$X = (2^{4}.3^{2}.5^{2}.7^{2})$

É aí que entra o número N, ou seja, se ele for construído com os mesmos fatores primos, ajudará a chegar no quadrado perfeito que queremos.

$(2^{3}.3.5^{2}.7).(2^{?}.3^{?}.5^{?}.7^{?})=(2^{4}.3^{2}.5^{2}.7^{2})$

Lembre-se da multiplicação de números com expontes (mantém e base a soma os expoentes).

Daí você chega que N deverá ter a seguinte composição:

$(2.3.7)=42$

Se você multiplicar N por 4.200, chegará em um número que é o quadrado de 420.

Como o problema quer a soma dos algarismos de N, então a resposta correta seria B.

Se não entendeu algum passo posta nas dúvidas que tento esclarecer.

Espero ter ajudado e bons estudos!