Question

Considere o retângulo ABCD. O lado AB mede 13 cm e BC mede 7 cm. Os segmentos PB, BQ, DR e SD têm uma mesma medida x. a) Calcule x (em cm) para que a área PQRS seja máxima. b) Calcule a área PQRS.

Answer 1

Vamos lá:

Como o paralelograma está inserido dentro de um retângulo sua área será máxima quando o espaço em branco dentro do retângulo for mínima. Então vamos montar uma expressão para a parte branca:

$2\cdot\left(\dfrac{(13-x)(7-x)}{2}\right)+2\cdot \dfrac{x^2}{2}=91-13x-7x+x^2+x^2=2x^2-20x+91$

Agora vamos calcular o zero de sua derivada para determinar onde é o ponto de mínimo dela (como é uma equação do 2º grau de concavidade para cima a derivada retornará um ponto de mínimo. Esse mesmo ponto poderia ser calculado fazendo o ponto médio das raízes).

$\dfrac{d}{dx}(2x^2-20x+91)=4x-20\\4x-20=0\implies x=5$

Logo a figura terá área máxima quando $x=5$. Essa é a resposta da A.

Agora para calcular a B para fazermos a diferença entre a área do retângulo e a área branca:

$13\cdot7-2\cdot\left(\dfrac{(13-5)(7-5)}{2}\right)+2\cdot \dfrac{5^2}{2}=91-25-16=50$

Logo a área máxima do paralelograma PQRS será $50m^2$.