(Unirio) Uma pessoa quer comprar 6 empadas em uma lanchonete. Há empadas de camarão, frango, legumes e palmito. Sabendo-se que podem ser compradas de zero a 6 empadas de cada tipo, de quantas maneiras diferentes essa compra pode ser feita?
a)84 b)94 c)85 d)86 e)95
Obs.: Resposta com cálculo.
Respostas
Representaremos o número de empadas compradas de camarão (C) , frango (F) , legumes (L) e palmito (P) , por x , y ,z e w , respectivamente . Segue daí que :
x+y+z+w = 6
Note que x , y , z , w só podem assumir valores naturais .
--> Um possível resultado é x=3 , y = 1 , z= 2 e w=0 . Cada empada comprada será representada por * . Temos :
***(C) + *(F) + **(L) + (P)
--> Outro possível resultado é x=1 , y=2 , z= 1 e w=2 , representado por :
* + ** + * + **
Tome outros resultados possíveis e perceba que , em cada um deles , aparecem 9 símbolos sendo 3 +(cruz) e 6 * (estrelinha)
Então temos uma permutação com repetição :
P9^(3,6) = (9!)/ (3!6!) = 84
Resposta:
84
Explicação passo-a-passo:
Podemos representar a quantidade de empadas a serem compradas por ' o ', veja:
0 0 0 0 0 0 = 6 empadas
Vamos utilizar 3 traços verticais para termos 4 grupos (camarão, frango, legumes e palmito):
O objetivo disso é para cada grupo representar uma quantidade de um tipo de empada. Por exemplo:
0 / 0 / 0 0 / 0 0
1 1 2 2
Vamos falar que:
grupo 1 = uma empada de camarão
grupo 2 = uma empada de frango
grupo 3 = duas empadas de legumes
grupo 4 = duas empadas de palmito
Veja que para cada lugar que coloquemos os traços teremos:
- Uma representação unica das possibilidades de quantitativo da empada
- Todas as possibilidades de quantitativo podem ser representadas desta manira
- Nenhuma outra possibilidade é possível de ser representa
Em outras palavras, podemos substituir o problema original da empada por este de pontos e traços
Podemos resolver este problema de pontos e traços usando a formula de Permutação com Repetição. Nosso n será igual a soma dos pontos e traços (6+3=9). E dividiremos por 6! e 3!
P = 9! ÷ 6!3!, temos:
P = 9×8×7×6! ÷ 6!3×2
Contemos o 6! com o outro 6!
P = 9×8×7 ÷ 3×2
P = 504 ÷ 6
P = 84 possibilidades de compra.