Question

Calcule LaTeX: \lim_{(x,y) \rightarrow (3,3)} \frac{x - y}{\sqrt x - \sqrt y}

Answer 1

Queremos calcular o seguinte limite: $\lim_{(x,y) \to (3,3)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$.

Observe que quando substituímos o valos de x = 3 e y = 3 na função $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ encontramos uma indeterminação 0/0, pois não existe divisão por 0.

Então, para calcularmos o limite da função, precisamos retirar essa indeterminação.

Para isso, vamos multiplicar a função pelo seu conjugado, ou seja, vamos multiplicar o numerador e o denominador por √x + √y:

$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}= \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}. \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}= \frac{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$.

Portanto, o limite é igual a:

$\lim_{(x,y) \to (3,3)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \lim_{(x,y) \to (3,3)} \sqrt{x}-\sqrt{y} = \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$