Question

$\lim_{(x,y) \to \ (0,0)} \frac{e^{y} sen x}x {}$

resolver esse limite!

Answer 1

Pede-se para calcular o seguinte limite:

$L = \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{e^y\cdot\sin(x)}{x}$

Podemos desenvolver o limite usando as suas propriedades:

$L = \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} e^y\cdot\dfrac{\sin(x)}{x}\\\\L = \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} e^y\cdot \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(x)}{x}$

O limite que aparece à direita é um limite fundamental. Sabe-se que $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$. Usando esse dado:

$L = \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} e^y\cdot \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(x)}{x}\\\\L =e^0\cdot 1\Longrightarrow \boxed{L = 1}$

Portanto:

$\boxed{\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{e^y\cdot\sin(x)}{x}=1}$