Question

Calcule a massa do tetraedro de vértices (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0) e (0,0,1)com densidade δ=δ(x,y,z)=x.

A: 2/3

B: 17/3

C: Nenhuma das alternativas

D: 1/3

E 1/8

Answer 1

Olá!

Para calcular a massa do tetraedro, primeiro deve-se  colocar os pontos em um gráfico 3D, visualizar o sólido gerado pelo encontro dos pontos e encontrar os limites de x,y e z.

• O x varia de 0 a 2.

• O y varia de 0 até a reta -x+2.

• O z varia de 0 até o plano $\bold{\frac{(2-x-y)}{2}}$

Sabemos que densidade é igual a massa sobre volume, logo:

$m = V.d$

Como a densidade não é constante (varia em função de x), devemos utilizar uma integral tripla para calcular a massa do sólido como um todo.

$\int\limits\int\limits\int\limits {\sigma} \, dV \\\int\limits^2_0\int\limits^{-x+2}_0\int\limits^ \frac{2-x-y}{2}_ 0{x} \, dz\,dy\,dx$

Realizando a integral, encontramos o valor 1/3. Portanto, a resposta correta é a letra D.