Question

Determine o fator integrante que transforma a EDO xdy - (y + x2ex)dx = 0 em uma equação exata.

Answer 1

Sendo xdy - (y + x²eˣ)dx = 0 uma EDO não exata, temos que:

M(x,y) = -(y + x²eˣ) e N(x,y) = x.

Derivando M em relação a y obtemos My = -1.

Derivando N em relação a x obtemos Mx = 1.

Então,

$\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{-1-1}{x}=-\frac{2}{x}$.

O fator integrante é calculado da seguinte maneira:

$\mu(x) = e^{\int {-\frac{2}{x}} \, dx } = e^{-2ln(x)} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Portanto, um fator integrante que transforma a Equação Diferencial xdy - (y + x²eˣ)dx = 0 em uma equação exata é $\frac{1}{x^2}$.

Observação: Perceba que se fizéssemos $\frac{N_x - M_y}{M}$ ficaria complicado de integrar, pois teríamos duas incógnitas.