Question

qual o valor de (1+1^2).(1+1^3).(1+1^4).....(1+1^18).(1+1^19)?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathsf{10}}$

Explicação passo-a-passo:

$\\ \displaystyle \mathsf{\left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) \cdot \left ( 1 + \frac{1}{3} \right ) \cdot \left ( 1 + \frac{1}{4} \right ) \cdot ... \cdot \left ( 1 + \frac{1}{18} \right ) \cdot \left ( 1 + \frac{1}{19} \right ) =} \\\\\\ \mathsf{\left ( \frac{2 + 1}{2} \right ) \cdot \left (\frac{3 + 1}{3} \right ) \cdot \left (\frac{4 + 1}{4} \right ) \cdot ... \cdot \left ( \frac{18 + 1}{18} \right ) \cdot \left (\frac{19 + 1}{19} \right ) =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot ... \cdot \frac{19}{18} \cdot \frac{20}{19} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{\not{3}}{2} \cdot \frac{4}{\not{3}} \cdot \frac{5}{4} \cdot ... \cdot \frac{19}{18} \cdot \frac{20}{19} =}$

Note que as fracções obedecem à lei abaixo:

$\displaystyle \boxed{\mathsf{\frac{n + 1}{n}, \ \forall \ n \in \mathbb{N}}}$

Ademais, observe que todos numeradores, com exceção do 20 (maior), serão simplificados. Quanto aos denominadores, com exceção do 2 (menor), todos serão simplificados. Noutras palavras, exceptuando o fator 20, todos os fatores que estão no numerador estão também no denominador!

Isto posto,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{\not{3}}{2} \cdot \frac{\not{4}}{\not{3}} \cdot \frac{\not{5}}{\not{\mathsf{4}}} \cdot ... \cdot \frac{\not{19}}{\not{\mathsf{18}}} \cdot \frac{20}{\not{19}} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{20}{2} =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{10}}}$

Answer 2

Resposta:

20/2=10

Explicação passo-a-passo: