Question

Seja uma PG na qual o primeiro termo é 1, o último termo é 1296 e a soma dos termos é 1555. Qual é o valor da razão dessa PG e do sexto termo?

Answer 1

Bom dia! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

a)primeiro termo (a₁) da progressão geométrica (PG): 1;

b)último termo (an): 1296 (normalmente o n de an é um número, entretanto não se sabe inicialmente quantos termos possui essa PG);

c)soma dos termos (Sn) da PG: 1555;

d)razão (q): ?

e)sexto termo (a₆): ?

(II)Levando-se em consideração as informações acima, deve-se aplicá-las na fórmula do termo geral, a fim de se estabelecer uma expressão algébrica que será utilizada na próxima parte do cálculo:

an = a₁ . qⁿ⁻¹

1296 = 1 . qⁿ⁻¹ (Lembre-se da propriedade de divisão de potências de mesma base, que diz que se deve conservar a base e subtrair os expoentes. Aqui, será aplicado o inverso. Veja: qⁿ⁻¹ pode ser desmembrado em qⁿ / q¹, justamente a operação que resultaria em qⁿ⁻¹ .)

1296 = 1 . qⁿ / q¹  (Passa-se q¹ para o primeiro membro (lado) da equação, de forma que multiplicará 1296.)

1296 . q¹ = 1 . qⁿ =>

1296q = qⁿ

(III)Aplica-se, em seguida, qⁿ = 1296q na fórmula da soma dos termos de uma PG finita (pois há um último termo):

Sn = a₁ . (qⁿ - 1) / q - 1 =>

1555 = 1 . (qⁿ - 1) / q - 1  (Passam-se os termos q - 1 para o primeiro membro (lado) da equação, de forma que multiplicará 1555.)

1555 . (q - 1) = 1 . (qⁿ - 1) (Aplica-se a propriedade distributiva no primeiro membro da equação.)

1555q - 1555 = qⁿ - 1  (Passa-se o termo -1555 ao segundo membro e qⁿ ao primeiro membro, alterando os seus sinais.)

1555q - qⁿ = 1555 - 1 =>

1555q - qⁿ = 1554  (Note que qⁿ = 1296q.)

1555q - 1296q = 1554 =>

259q = 1554 => q = 1554/259 => q = 6

(IV)Substituindo a₁ = 1 e q = 6 na fórmula do termo geral para a determinação do sexto termo (a₆):

an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₆ = 1 . 6⁶⁻¹ =>

a₆ = 1 . 6⁵ =>

a₆ = 7776

Resposta: O valor da razão dessa PG é 6 e o seu sexto termo é 7776.

Demonstração de que a resposta está correta

O problema diz que a₁=1, an=1296 e Sn=1555. Então, aplicando q=6, tem-se a seguinte PG:

PG (1 , a₂=1.6 , a₃=1.6.6 , a₄=1.6.6.6, a₅=1.6.6.6.6, a₆=1.6.6.6.6.6 )

     (1,     6     ,       36    ,        216   ,        1216    ,        7776         )

Sn = 1555 = a₁+a₂+a₃+a₄+a₅ = 1+6+36+216+1216 = 1555 (O sexto termo não é incluído porque deveria ser calculado.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!