Question

Dada a EDO homogênea de primeira ordem (x2 + y2)dx - xydy = 0

Answer 1

Para resolver uma EDO homogênea, podemos fazer a seguinte substituição:

$y(x) = x\cdot v(x)\Longrightarrow dy = x\,dv+v\,dx$

Fazendo isso, obtemos uma equação separável. Veja:

$(x^2+y^2)\,dx-xy\,dy=0\\\\(x^2+(xv)^2)\,dx - x\cdot(xv)\cdot(x\,dv+v\,dx)=0\\\\(x^2+x^2v^2)\,dx - x^3v\,dv-x^2v^2\,dx=0\\\\x^2\,dx - x^3v\,dv=0\\\\v\,dv=\dfrac{1}{x}\,dx$

Que é uma equação separável. Integrando cada lado na respectiva variável:

$\displaystyle \int v\,dv=\int\dfrac{1}{x}\,dx\\\\\dfrac{1}{2}v^2 = \ln|x|+C_1\\\\v^2=2\ln|x|+C=\ln(|x|^2)+C\\\\v^2=\ln(x^2)+C\\\\v(x)=\pm\sqrt{\ln(x)^2+C}$

Voltando para a função original:

$v(x)=\pm\sqrt{\ln(x)^2+C}\\\\\dfrac{y(x)}{x}=\pm\sqrt{\ln(x)^2+C}\\\\\boxed{y(x)=\pm x\sqrt{\ln(x)^2+C}}$