1) Utilizando as regras de interferências, prove os seguintes argumentos, chegando na conclusão desejada. i) Se Maria disse a verdade, João mentiu e Carlos também mentiu. Se Carlos mentiu, Regina falou a verdade. Se Regina falou a verdade, então Lógica Matemática é difícil. Ora, Lógica Matemática não é difícil. Logo, podemos concluir que Maria mentiu a Regina também mentiu. (200 pontos) j) A condição necessária para eu ir a aula amanhã é eu acordar cedo amanhã. Se eu for a festa hoje à noite eu ficarei lá até tarde. Se eu ficar até tarde na festa e acordar cedo amanhã eu sou forçado a dormir apenas 5 horas. Eu simplesmente não posso dormir somente 5 horas. Por isso eu tenho que perder a aula de amanhã ou deixar de ir a festa hoje. (200 pontos)
Respostas
Vamos provar cada um dos argumentos. Antes de tudo, formalizaremos eles. Colocarei na ordem:
1. p ⇒ (q ∧ r) (Se Maria disse a verdade, João mentiu e Carlos também mentiu)
2. r ⇒ s (Se Carlos mentiu, Regina falou a verdade)
3. s ⇒ m (Se Regina falou a verdade, então Lógica Matemática é difícil)
4. ¬m (Lógica Matemática não é difícil)
5. ¬p ∧ ¬s (conclusão de que Maria e Regina mentiram se segue?)
Antes de tudo, tomaremos as quatro primeiras frases como premissas (P do lado de cada sentença), como nos foi dado, e tentaremos chegar à conclusão.
1. p ⇒ (q ∧ r) P
2. r ⇒ s P
3. s ⇒ m P
4. ¬m P
5. ¬s 3,4 MODUS TOLLENS
Chegamos ao fato de que Regina mentiu, mas precisamos chegar no fato de que é mentira de Maria também.
6. ¬r 2,5 MODUS TOLLENS
Agora, precisamos reduzir a sentença p ao absurdo para negarmos ela e fazermos conjunção entre ela e a sentença 4.
Sugerimos por hipótese que p é correta
7. p HIPÓTESE
8. (q ∧ r) 1,7 MODUS PONENS
9. r 8 SEPARAÇÃO DE CONJUNÇÃO
10. (r ∧ ¬r) 6,9 CONJUNÇÃO
11. ¬p 10 REDUÇÃO AO ABSURDO
12. (¬p ∧ ¬s) 5, 11 CONJUNÇÃO
Portanto, conclui-se que Regina e Maria mentiram. Formalizaremos o outro exercício
1. (p ⇒ q) (Se vou pra aula, então acordo cedo)
2. (r ⇒ s) (Se eu for a festa hoje à noite. eu ficarei lá até tarde)
3. ((s ∧ q) ⇒ t) (Se eu ficar até tarde na festa e acordar cedo amanhã eu sou forçado a dormir apenas 5 horas)
4. ¬t (Eu simplesmente não posso dormir somente 5 horas)
5. (¬p ∨ ¬r) ou ¬(p ∧ r) (conclusão que se segue? "por isso eu tenho que perder a aula de amanhã ou deixar de ir a festa hoje")
Novamente, vamos tentar derivar a última fórmula por regras de inferência.
1. (p ⇒ q) P
2. (r ⇒ s) P
3. ((s ∧ q) ⇒ t) P
4. ¬t P
5. (p ∧ r) HIPÓTESE
6. p 5 SEPARAÇÃO
7. r 5 SEPARAÇÃO
8. q 1,6 MODUS PONENS
9. s 2,7 MODUS PONENS
10. (s ∧ q) 8,9 CONJUNÇÃO
11. t 3,10 MODUS PONENS
12. (t ∧ ¬t) 4,11 CONJUNÇÃO
13. ¬(p ∧ r) 5-12 REDUÇÃO AO ABSURDO/FECHA HIPÓTESE.
14. (¬p ∨ ¬r) 13 DE MORGAN
Portanto, segue-se a conclusão.